УДК 669.018÷621.744.3
Напряжение ползучести песчано-смоляной смеси в условиях чистого сжатия и сдвига
Исагулов А.З., Максимов Е.В., Куликов В.Ю.
В настоящее время одним из важных вопросов является интенсификация народного хозяйства. Ведущую роль в реализации новейших достижений науки играет машиностроение. Поэтому первостепенное значение придается укреплению материальной и научно-технической базы машиностроительного производства – основы научно-технического прогресса во всех отраслях народного хозяйства.
Одной из важных задач, стоящих перед наукой и практикой является оперативное управление структурой дисперсных сред для получения форм заданных свойств.
При этом основной проблемой является построение математической модели деформирования слоя дисперсных материалов. То обстоятельство, что эта проблема до настоящего времени не нашла окончательного решения, связано с наличием ряда дополнительных параметров состояния и с существенной сложностью уравнений состояния.
Одним из представителей дисперсных сред являются песчано-смоляные смеси (ПСС). Подобные смеси широко используются на практике в металлургии и литейном производстве. Построение математических моделей смесей и процессов уплотнения для описания напряженно-деформированного состояния проводится в целях выбора рациональных схем и режимов уплотнения, позволяет управлять структурой форм. С целью упрощения модель дисперсной песчано-смоляной среды следует представить в виде двух моделей: модели объемного сжатия и модели чистого сдвига. При этом каждая модель будет состоять из небольшого числа элементов, отображающих реологические свойства ПСС для того или иного вида нагружения. Это позволит сократить технологию расчетов реологических параметров дисперсной среды.
При построении модели чистого сжатия будем иметь в виду, что как только уплотнение достигнет определенной стадии, дисперсная среда приобретает упругие свойства. После превышения предельного напряжения сдвига происходит деформация смеси за счет пластического элемента Сен-Венана. Поэтому в первом приближении реологическую модель формовочной смеси можно изобразить в виде параллельно соединенных тел Сен-Венана Stv и Гука Н, т. е. ПСС = Н0–Stv.
На процесс уплотнения при приложении нагрузки на дисперсную смесь влияние оказывает внутрипоровый воздух [1, 2]. При объемном сжатии большая часть воздуха, заключенного между частицами песка и пульвербакелита смеси, удаляется из объема, а оставшийся воздух попадает в замкнутые полости между частицами и удерживается в них благодаря наличию на частицах оболочек, из связующих, способствующих образованию замкнутых полостей.
Представим давление воздуха в замкнутых полостях ПСС (давление внутрипорового воздуха) и сопротивление внутреннему трению в виде упругого тела Гука НВ. Так как давление внутрипорового воздуха непосредственно зависит от давления скелета смеси, то можно соединить элементы Н0 и НВ последовательно. Также последовательно включим упругий элемент Нс от слоя частиц смолы. В этом случае изменение объема смеси направлено только в одну сторону, параллельно телу Гука НВ введем стопор Г0.
При превышении предела пластичности смеси происходит упруго пластическое течение зерен песка и плавящейся смолы. Это дает основание включить упругий элемент НС параллельно с телом Сен-Венана. Давление внутрипорового воздуха также зависит от заполнения пор плавящейся смолой.
Давление внутрипорового воздуха зависит не только от давления приложенной нагрузки, но и от вязкости связующего, т. е. от прочности дисперсной песчано-смоляной среды. При уплотнении ПСС в замкнутых порах смеси возникает не только нормальное давление (напряжение), но и возникает добавочное напряжение, вызванное внутренним трением. Коэффициент пропорциональности, связывающий скорость объемной деформации с напряжением объема – коэффициент вязкости. Обозначим эту вязкость в виде вязкого тела Ньютона N0 и присоединим ее параллельно к НВ и НС.
Описываемую цепочку реологических тел НВ/Г0 – N0/НС присоединим параллельно с телом Сен-Венана, т. к. эта цепочка не позволяет мгновенно уплотняться формовочной смеси под действием сколь угодно малого механического напряжения. С учетом температурного фактора (размягчение термореактивной смолы при нагреве) следует в реологическую модель ввести еще вязкое тело Ньютона NС, которое присоединим последовательно с Н0 и НВ/Г0 – N0/НС.
Окончательно шаровая часть реологической модели имеет вид при объемном деформировании
ПСС=Н0—[НВ/Г0 – N0/HС]/S0 – NС. (1)
Механическая модель представлена на рисунке 1.
Проводя решение как в [3], получим
+
+ · , (2)
где R= , М= ;
λ – коэффициент пластичности; ηС, η0 – коэффициент пластичности смолы и внутрипорового воздуха смеси соответственно; КНв, КНс – модули объемного сжатия внутрипорового воздуха и смолы соответственно; ε0 – деформация в начальный момент времени; t – время. Таким образом, песчано-смоляная смесь ведет себя как вязко-упруго-пластичное тело и обладает всеми свойствами, присущими реологическому телу [4].
Таким образом, по выведенной формуле (2) можно определять значение деформации при статическом воздействии на дисперсную песчано-смоляную смесь в условиях чистого сжатия.
Определим величину напряжений при ползучести песчано-смоляной смеси. Так как σ=const, то = = =0. Тогда
. (3)
Зависимость (3) есть уравнение ползучести песчано-смоляной смеси при приложенной статической нагрузке на смесь в условиях чистого сжатия.
Теперь рассмотрим построение реологической модели песчано-смоляной смеси для условий сдвига. Вначале смесь ведет себя как упругое тело Гука, а с повышением напряжения сдвига достигается некоторый предел, после которого наблюдается вязкое течение со скоростью, пропорциональной приложенному напряжению сдвига. С повышением температуры смола из сухого состояния становится вязкой. Поэтому реологическую модель формовочной смеси на сдвиг можно представить в виде трёх элементов, соединенных по схеме (рисунок 2):
ПССd = Ndc – (Нdo/stvd), (4)
где Ndc – вязкий элемент Ньютона, характеризующий вязкие свойства связующего (смолы) при сдвиге; Нdо – упругий элемент Гука при сдвиге;
Stvd – пластический элемент Сен-Венана, представляющий собой кулоново трение зерновой основы формовочной смеси.
Присоединим вязкий элемент Ньютона его последовательно к параллельно соединённым телам Гука и Сен-Венана. При повышении температуры вязкость ПСС должна быть минимальной, что позволит смоле равномерно распределяться на зёрнах песка. Коэффициент вязкости η является величиной переменной, поскольку вязкость меняется во времени в зависимости от температуры. Изменение коэффициента вязкости во времени целесообразно принять в следующем виде [5]:
η=η0·(1+κ·t), (5)
где η0 – коэффициент вязкости в первоначальный момент; κ – постоянная песчано-смоляной среды.
Решение проведем так же как в [3]. Поскольку данная реологическая модель представляет собой последовательное соединение тел Ndc и (Нd0/stvd) полная деформация тела равна сумме деформаций составляющих его тел
γ=γNdc+γΣ, (6)
где γΣ – деформация комплексного элемента тел Гука и Сен-Венана.
τNdc=ηNdc· Ndc (7)
= . (8)
Определим деформацию γΣ. При параллельном соединении полная нагрузка на тело равна сумме нагрузки на каждый элемент, а деформация (скорость деформации) равна деформации (скорости деформации) любого из составляющих его элементов. Исходя из этого правила реологии, можно записать:
τ=τНd0+τS , (9)
τ= +λS· , (10)
где τ – напряжение сдвига комплексного элемента тел Ньютона и Сен-Венана; GHdo – модуль упругости сдвига Гука; λS – коэффициент пропорциональности при объёмной пластической деформации.
= . (11)
Продифференцируем (6) и получим:
= . (12)
Подставляя (8) и (11) в уравнение (12), получаем:
= + . (13)
Мы получили дифференциальное уравнение реологической модели ПСС. Выражение, стоящее в правой части уравнения (13), можно трактовать как внешнее воздействие на систему, а (t) как отклик системы на это воздействии. Запишем уравнение (13) в следующем виде:
+γ = . (14)
Уравнение (14) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для упрощения дальнейших расчётов заменим коэффициенты:
=А, =В. (15)
Таким образом, уравнение (14) принимает вид:
+γ·А=τ·В. (16)
Учитывая, что скорость и ускорение напряжений в общем случае являются переменными величинами, то граничными условиями являются =const; =0. Решение уравнения (16) получим, используя методом замены и интегрирование по частям:
Постоянную интегрирования определим С при t=t0, γ=γ0, и сгруппируем члены уравнения, с учётом (15), получим [6]:
γ=γо· +( · ·τ- · · + · —
— · )·[1— ]= γо· +( ·τ— · +
+ — )·[1— ]. (17)
Таким образом, по выведенной формуле (17) можно определять значение сдвига при статическом воздействии на дисперсную песчано-смоляную смесь.
Определим величину напряжений при ползучести песчано-смоляной смеси. Так как τ=const, то = = =0. Тогда
γ=γо· +( ·τ) ·[1— ]. (18)
Зависимость (18) есть уравнение ползучести песчано-смоляной смеси при приложенной статической нагрузке на смесь в условиях сдвига.
Сравнение теоретических данных и результатов проведенных экспериментов в условиях чистого сжатия приведено на рисунке 3. Данные по реологической зависимости деформации песчано-смоляной смеси во времени взяты из экспериментов [2]. Сравнение теоретических и практических результатов дали сходимость, не превышающую 9,2 %.
Научный подход, создание математических модней с целью оперативного управления свойствами форм для изготовления отливок позволяет существенно повысить чистоту поверхности, снижает количество брака и затраты на такие операции как зачистка, механическая обработка. Это способствует получению конкурентоспособной продукции в заготовительном производстве.
Работа выполнена в Карагандинском государственном техническом университете на кафедре «Машины, технология литейного производства и конструкционные материалы» им. профессора Е.И Шевцова.